目前，国产及进口专用机床所提供的编程系统均采用平面包络计算方法，即认为加工过程中刀具与工件的接触点轨迹为平面曲线。而实际在三坐标专用数控铣床上进行包络加工时，刀触点轨迹为复杂的空间曲线，因此，按平面包络计算方法所得的刀具轨迹及数控程序必然存在理论误差，影响加工精度。笔者对截面包络法数控加工螺旋面时，刀触点和刀具运动轨迹的计算方法进行研究，提出一种新的计算刀触点的“最小有向距离算法”。这种算法不仅适用于在三坐标联动的数控机床上加工螺旋面，而且，可推广到多轴联动的数控机床上加工自由曲面。
　　1“最小有向距离算法”的原理
最小有向距离算法中，所谓的“有向距离”指在空间6个自由度的距离，包括直线距离和转向距离。而在数控加工时，3个平动运动（X、Y、Z）和3个旋转运动（A、B、C）完成的先后顺序不影响刀具的最后位置，实线表示路径为先作旋转运动后作平移运动，虚线表示先作平移运动后作旋转运动，在前几个平动运动或旋转运动后，剩下最后一个运动（平动或旋转运动）则称为终结运动。将刀具的运动离散称为各个自由度的独立运动，当几个自由度的运动完成后，剩下1个终结运动时，就将运动模型简化为单自由度运动问题，在这种运动模型下对“最小有向距离算法”进行讨论。
　　最小有向距离算法近似于投影法，假设刀具位于某个不干涉的初始位置，为找到每个接触点的位置，将刀具运动方向由远处向工件运动，与待加工曲面刚好接触为止，接触点即为啮合点（刀触点）。寻找刀触点的问题实际上就是求解刀具曲面和被加工曲面的有向距离最小值的问题。假设刀具从一个位置向下一个位置运动时，已完成几个自由度的运动，最后只剩1个平动的终结运动，沿该运动方向与待加工曲面接触。
　　这里的终结运动方向在数控机床上为X、Y、Z三个坐标轴方向的任意一个。不失一般性，设刀具沿X轴方向的运动为终结运动。
　　如所示，取坐标系S（O-X，Y，Z）。假定有构件1和2，其上分别有曲面F1和F2存在。设构件1静止不动，构件2只沿X轴作平移运动。构件2自初始位置作位移Δx后，曲面F2达到位置F2′，那么沿X轴方向距离最近的一对对应点M1和M2首先在M1点接触―――接触条件。如果在M1点处2个曲面的法线方向相同，即满足啮合条件中的相切条件，那么点M1和M2则是一对啮合点。
　　2原理的论证
首先证明F1、F2两曲面上沿X轴方向距离最小的对应点M1和M2，在两曲面沿X轴方向平移接触时为一对满足啮合条件的接触点，即证明其法线方向一致。设曲面F1和F2是光滑曲面，其方程分别为：F1（x，y，z）=0（1）F2（x，y，z）=0（2）解析上要求函数F1（x，y，z）和F2（x，y，z）一阶连续可微，有连续的一阶偏导数，二阶偏导数存在且不为零。
　　假设在接触点M1（x，y，z）的附近有9F1/9x≠0，9F2/9x≠0（若9F1/9x或9F2/9x中有一个为零，这时则在M1点该曲面的切平面与x轴平行，可以选取y轴或z轴方向为终结运动方向），根据隐函数存在定理，有且仅有一个有单值连续偏导数的函数存在：x=f1（y，z）（3）x=f2（y，z）（4）式（3）、（4）分别为F1、F2曲面方程显函数表示形式。即：x-f1（y，z）=0（5）x-f2（y，z）=0（6）那么两曲面上这一对应点之间的距离为：Δx=G（y，z）=f2（y，z）-f1（y，z）（7）式中：G（y，z）为关于y，z的函数。
　　根据曲面法矢量的定义，两曲面上任意一点的法线矢量分别为：N_1={1，-f1y，-f1z}（8）N_2={1，-f2y，-f2z}（9）由于曲面F2只沿x轴方向运动使点M1和M2达到接触，所以M1点和M2点在y，z轴上的坐标值相同。设M1点坐标为（x1，y1，z1），M2点坐标为（x2，y1，z1）则有：曲面F1上M1点的法矢量为：
　　N_M1={1，-f1y1，-f1z1}（10）曲面F2上M2点的法矢量为：N_M2={1，-f2y2，-f2z2}（11）单位法矢量分别为：n_1=1‖N_M1‖{1，-f1y，-f1z}（12）n_2=1‖N_M2‖{1，-f2y，-f2z}（13）式中：‖N_M1‖，‖N_M1‖分别为法矢量N_M1，N_M2的模。‖N_M1‖=1 f1y2 f1z2，‖N_M2‖=1 f22y f22z在初始位置时，M1，M2点之间的距离为Δx，则有：Δx=x2-x1=G（y1，z1）=f2（y1，z1）-f1（y1，z1）（14）根据2个可导函数之和（差）的导数等于这2个函数导数之和（差）的性质可知，函数Δx=G（y，z），在点（y1，z1）处的一阶偏导数9G9y，9G9z存在且连续。
　　9G9y=9f29y-9f19y（15）9G9z=9f29z-9f19z（16）又因M1、M2两点间距离最近，函数Δx=G（y，z）在点（y1，z1）处有极小值，根据函数取得极值的必要条件可知，它在该点的偏导数必然为零，即：（9f29y-9f19y）（y1，z1）=0（17）（9f29z-9f19z）（y1，z1）=0（18）则有：f2y（y1，z2）=f1y（y1，z2）（19）f2z（y1，z2）=f1z（y1，z2）（20）将式（19）、（20）依次代入式（12）、（13）中得：n_1=n_2。
　　也就是说在沿x轴方向距离最近的一对对应点M1、M2处，法线矢量方向相同。又有在空间直角坐标系中，向量沿任意方向作平移运动，其大小、方向均不变。所以，两曲面F1、F2在接触点M′处相切，满足相切条件。
　　在不干涉的前提下，任一瞬时曲面F1、F2上沿x轴方向距离最近的一对对应M1、M2经平移后，在点M′处接触，既满足啮合条件的接触条件又满足相切条件，所以这一对对应点啮合点。还可证明，若M1和M2点分别是F1、F2两曲面上沿x轴方向平行移动时的一对啮合点，则M1和M2是F1和F2两曲面上的一对距离最近的点。
　　这样就得到一个定理，在不干涉条件下，两个连续可微曲面在给定的直线方向上，距离最小的点就是两曲面沿该方向平动接触时的啮合点，充分条件和必要条件均成立。
　　3结论
在实际应用中，一般简化为终结运动平动的运动模型。因为在应用该理论进行程序编制时，有向距离的计算是程序计算的核心部分，循环次数最多。终结运动为平动时，方程的建立比较容易，且只是简单的直线距离计算问题，计算速度快。而终结运动为旋转运动时，相对于平动而言，由于涉及到旋转角度问题方程的建立比较麻烦。此外，目前的数控机床，无论是二轴联动还是多轴联动机床，均有平动运动，所以在实际应用时，一般将平动运动作为终结运动来进行分析计算。